Из всего этого видно, что минимаксная стратегия оказалась, как говорят, неустойчивой: она побудила обоих игроков искать улучшения своей стратегии. Но при этом приходится гадать, какой же ход задумает противник. А выбор хода зависит от темперамента, настроения и т. д. Здесь мы уже вступаем в область психологии, на почву риска и азарта. В таких ситуациях теория игр бессильна. Она может оценить среднее ожидаемое, но всякие отклонения от среднего для нее уже случайные события, исход которых предусмотреть нельзя.

Казалось бы, что этот пример иллюстрирует практическую беспомощность теории. В самом деле, какая польза от того, что мы узнали цену игры и минимаксную стратегию, если этой стратегии практически бесполезно придерживаться?

Но оказывается существует определенный класс игр, как говорят, имеющих «седловую точку», для которых минимаксные стратегии оказываются устойчивыми в том смысле, что если одна из сторон придерживается минимаксной стратегии, то второй стороне выгодно также придерживаться минимаксной стратегии.

Пусть в игровой матрице существует седловая точка, т. е. элемент, который оказался наименьшим в своей строке и одновременно наибольшим в своем столбце. Название «седловая точка» взято из геометрии. На поверхностях, по форме напоминающих седло, существует точка, которая является точкой минимума, если двигаться по кривой вдоль седла, и точкой максимума, если двигаться поперек седла. Нетрудно понять, что седловая точка определяет одновременно и верхнюю и нижнюю цену игры. В этом случае ее просто называют ценой игры. Седловая точка находится на пересечении двух минимаксных стратегий, которые в данном случае называются оптимальными стратегиями. Совокупность оптимальных стратегий называется решением игры.